tareas


El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Área de figuras planas

Área de un triángulo
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Áreas.
§  El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
A =\frac{b\cdot h}{2}
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
§  Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:
A =\frac{a\cdot b}{2}
donde a y b son los catetos.
§  Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplica la fórmula de Herón.
A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
§  Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:
A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}
donde a es un lado del triángulo.
     Área de un cuadrilátero
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Trapezoide.
§  El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del angulo que forman.
A = \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}
El área también se puede obtener mediante triangulación:
A = \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}
Siendo:
\alpha\, el ángulo comprendido entre los lados a\, y d\,.
\gamma\, el ángulo comprendido entre los lados b\, y c\,.
§  El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:3
A = a \cdot b \,
§  El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}
§  El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:3
A = a \cdot a \, = a^2
§  El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:3
A = b\cdot h\,
§  El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):3
A = \frac{a + b}{2} \cdot h
                                                                               Área del círculo y la elipse
El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:4
A = \pi \cdot r^2\,
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El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.
El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:5
A = \pi \cdot a \cdot b
Área delimitada entre dos funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x)\, y g(x) [< f(x)]\, en el intervalo [a,b]\,.
Ejemplo
Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso:g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}
Por lo que se concluye que el área delimitada es \frac{32}{3}. El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.

Relación entre capacidad y volumen
La "capacidad" y el "volumen" son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico(unidad de volumen).
Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente con agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro (1 dm3), se derramará 1 litro de agua. Por tanto, puede afirmarse que:
1 dm3 = 1 litro
Equivalencias
1 dm3 = 0,001 m3 = 1.000 cm3 .


 

 

Unidades de volumen

Se clasifican en tres categorías:
§  Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.
§  Unidades de volumen líquido. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.
§  Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Éstas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.

Unidades de volumen sólido

Sistema Internacional de Unidades

El metro cúbico es la unidad fundamental del SI para volúmenes. Debe considerarse con los siguientes múltiplos y submúltiplos:
Múltiplos
§  Kilómetro cúbico
§  Hectómetro cúbico
§  Decámetro cúbico
Submúltiplos
§  Decímetro cúbico
§  Centímetro cúbico
§  Milímetro cúbico

Sistema inglés de medidas

§  Pulgada cúbica
§  Pie cúbico
§  Yarda cúbica
§  Acre-pie
§  Milla cúbica

Unidades de volumen líquido

Sistema Internacional de Unidades

La unidad más usada es el Litro, pero debe ser considerada con los siguientes múltiplos y submúltiplos:
Múltiplos
§  Kilolitro
§  Hectolitro
§  Decalitro
Submúltiplos
§  Decilitro
§  Centilitro
§  Mililitro

Sistema inglés de medidas

§  Barril
§  Galón
§  Cuarto
§  Pinta
§  Gill
§  Onza líquida
§  Dracma líquido
§  Escrúpulo líquido (exclusivo del Reino Unido)
§  Minim

Medidas usadas en la cocina

§  Cucharadita
§  Cucharada
§  Taza












el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).
En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse.
En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F yG son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = \mathbb R^2), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.

la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
§  Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
§  Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
§  Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.
= Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).
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